主成份（Principal Component Analysis）分析是降维（Dimension Reduction）的重要手段。每一个主成分都是数据在某一个方向上的投影，在不同的方向上这些数据方差Variance的大小由其特征值（eigenvalue）决定。一般我们会选取最大的几个特征值所在的特征向量（eigenvector），这些方向上的信息丰富，一般认为包含了更多我们所感兴趣的信息。当然，这里面有较强的假设：（1）特征根的大小决定了我们感兴趣信息的多少。即小特征根往往代表了噪声，但实际上，向小一点的特征根方向投影也有可能包括我们感兴趣的数据； （2）特征向量的方向是互相正交（orthogonal）的，这种正交性使得PCA容易受到Outlier的影响，例如在【1】中提到的例子（3）难于解释结果。例如在建立线性回归模型（Linear Regression Model）分析因变量（response）和第一个主成份的关系时，我们得到的回归系数（Coefficiency）不是某一个自变量（covariate）的贡献，而是对所有自变量的某个线性组合（Linear Combination）的贡献。
在Kernel PCA分析之中，我们同样需要这些假设，但不同的地方是我们认为原有数据有更高的维数，我们可以在更高维的空间（Hilbert Space）中做PCA分析（即在更高维空间里，把原始数据向不同的方向投影）。这样做的优点有：对于在通常线性空间难于线性分类的数据点，我们有可能再更高维度上找到合适的高维线性分类平面。我们第二部分的例子就说明了这一点。
本文写作的动机是因为作者没有找到一篇好的文章（看了wikipedia和若干google结果后）深层次介绍PCA和Kernel PCA之间的联系，以及如何以公式形式来解释如何利用Kernel PCA来做投影，特别有些图片的例子只是展示了结果和一些公式，这里面具体的过程并没有涉及。希望这篇文章能做出较好的解答。
1. Kernel Principal Component Analysis 的矩阵基础
我们从解决这几个问题入手：传统的PCA如何做？在高维空间里的PCA应该如何做？如何用Kernel Trick在高维空间做PCA？如何在主成分方向上投影？如何Centering 高维空间的数据？
1.1 传统的PCA如何做？
让我先定义如下变量： \( X= [x_1, x_2, \ldots, x_N] \) 是一个\( d \times N \)矩阵，代表输入的数据有\( N\) 个，每个sample的维数是\( d \)。我们做降维，就是想用\( k \)维的数据来表示原始的\(d\)维数据（\( k \le d \)）。
当我们使用centered的数据（即\(\sum_i x_i = 0\)）时，可定义协方差矩阵\(C\)为：
$$C=\frac{1}{N} x_i x_i^T = \frac{1}{N} X X^T$$
做特征值分解，我们可以得到：
$$CU = U \Lambda \Rightarrow C = U \Lambda U^T = \sum_a \lambda_a u_a u_a^T$$
注意这里的\(C, U , \Lambda\)的维数都是\(d \times d\), 且\( U=[u_1, u_2, \ldots, u_d] \), \(\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_d) \)。
当我们做降维时，可以利用前\(k\)个特征向量\(U_k = [u_1, u_2, \ldots, u_k] \)。则将一个\(d\)维的\(x_i\)向\(k\)维的主成分的方向投影后的\(y_i = U_k^T x_i\) （这里的每一个\(u_i\)都是\(d\)维的，代表是一个投影方向，且\(u_i^T u_i = 1\)，表示这是一个旋转变量）
1.2 在高维空间里的PCA应该如何做？
高维空间中，我们定义一个映射\(\Phi : X^d \rightarrow \mathcal{F}\)，这里\(\mathcal{F}\)表示Hilbert泛函空间。
现在我们的输入数据是\(\Phi(x_i), i = 1, 2, …n\)， 他们的维数可以说是无穷维的（泛函空间）。
在这个新的空间中，假设协方差矩阵同样是centered，我们的协方差矩阵为：
$$\bar{C}=\frac{1}{N} \Phi(x_i) \Phi(x_i)^T = \frac{1}{N} \Phi(X) \Phi(X)^T$$
这里有一个陷阱，我跳进去过：
在对Kernel trick一知半解的时候，我们常常从形式上认为\(\bar{C} \)可以用\(K_{i,j} = K(x_i, x_j)\)来代替，
因此对\(K=(K_{ij})\)做特征值分解，然后得到\(K=U \Lambda U^T\)，并且对原有数据降维的时候，定义\(Y_i=U_k^T X_i\)。
但这个错误的方法有两个问题：一是我们不知道矩阵\(\bar{C}\)的维数；二是\(U_k^T X_i\)从形式上看不出是从高维空间的\(\Phi(X_i)\)投影，并且当有新的数据时，我们无法从理论上理解\( U_k^T X_{\mathrm{new}} \)是从高维空间的投影。
如果应用这种错误的方法，我们有可能得到看起来差不多正确的结果，但本质上这是错误的。
正确的方法是通过Kernel trick将PCA投影的过程通过内积的形式表达出来，详细见1.3
1.3 如何用Kernel Trick在高维空间做PCA？
在1.1节中，通过PCA，我们得到了\(U\)矩阵。这里将介绍如何仅利用内积的概念来计算传统的PCA。
首先我们证明\(U\)可以由\(x_1, x_2, \ldots, x_N\)展开（span)：
$$ C u_a = \lambda_a u_a $$
$$ \begin{align}
u_a &= \frac{1}{\lambda_a} C u \\
&= \frac{1}{\lambda_a} (\sum_i x_i x_i^T )u \\
&= \frac{1}{\lambda_a} \sum_i x_i (x_i^T u) \\
&= \frac{1}{\lambda_a} \sum_i (x_i^T u) x_i \\
&= \sum_i \frac{x_i^T u}{\lambda_a} x_i \\
&= \sum_i \alpha_i^a x_i
\end{align}$$
这里定义\(\alpha_i^a=\frac{x_i^T u}{\lambda_a} \)。
因为\(x_i^T u\) 是一个标量（scala），所以\(\alpha_i^a\)也是一个标量，因此\(u_i\) 是可以由\(x_i\)张成。
进而我们显示PCA投影可以用内积运算表示，例如我们把\(x_i\)向任意一个主成分分量\(u_a\)进行投影，得到的是\(u_a^T x_i\)，也就是\(x_i^T u_a\) 。作者猜测写成这种形式是为了能抽出\(x_i^T x_j = \mathrm{<} x_i, x_j\mathrm{>} \)的内积形式。
$$\begin{align}
x_i^T C u_a &= \lambda_a x_i^T u_a \\
x_i^T \frac{1}{N} \sum_j x_j x_j^T \sum_k \alpha_k^a x_k &= \lambda_a x_i^T \sum_k \alpha_k^a x_k \\
\sum_j \alpha_k^a \sum_k (x_i^T x_j) (x_j^T x_k) &= N \lambda_a \sum_k \alpha_k^a (x_i^T x_k) \\
\end{align}$$
当我们定义\( K_{ij} = x_i^T x_j \)时，上式可以写为\( K^2 \alpha = N \lambda_a K \alpha^a\)
（这里\(\alpha^a\)定义为\([\alpha_1^a, \alpha_2^a, \ldots, \alpha_N^a]^T\).）
进一步，我们得到解为：
$$K \alpha = \tilde{\lambda}_a \alpha \quad \mathrm{with} \quad \tilde{\lambda}_a = N \lambda_a$$
\(K\)矩阵包含特征值\(\tilde{\lambda}\)和\(\alpha^a\)，我们可以通过\(\alpha\)可以计算得到\(u_a\)，
注意特征值分解时Eigendecomposition，\(\alpha^a\)只代表一个方向，它的长度一般为1，但在此处不为1。
这里计算出\(\alpha_a\)的长度（下面将要用到）：
因为\(u_a\)的长度是1，我们有：
$$\begin{align}
1 &= u_a^T u_a \\
&= ( \sum_i \alpha_i^a x_i) ^T (\sum_j \alpha_j^a x_j ) \\
&= \sum_i \sum_j \alpha_i^a \alpha_j^a x_i^T x_j^T \\
&=(\alpha^a)^T K \alpha_a \\
&=(\alpha^a)^T ( N \lambda_a \alpha_a) \\
&=N \lambda_a ({\alpha^a}^T \alpha_a )\\
&\Rightarrow \quad \lVert \alpha^a \rVert = 1/\sqrt{N \lambda_a} = 1/\sqrt{\tilde{\lambda}_a}
\end{align}$$
在上面的分析过程中，我们只使用了内积。因此当我们把\(K_{ij} = x_i^T x_j\)推广为\(K_{ij} = <\Phi(x_i), \Phi(x_j> = \Phi(x_i)^T \Phi(x_j)\)时，上面的分析结果并不会改变。
1.4 如何在主成分方向上投影？
投影时，只需要使用\(U\)矩阵，假设我们得到的新数据为\(t\)，那么\(t\)在\(u_a\)方向的投影是：
$$u_a^T t = \sum_i \alpha_i^a x_i^T t = \sum_i \alpha_i^a ( x_i^T t)$$
对于高维空间的数据\(\Phi(x_i),\Phi(t)\)，我们可以用Kernel trick，用\(K(x_i, t)\)来带入上式：
$$u_a^T t = \sum_i \alpha_i^a K(x_i, t)$$
1.5 如何Centering 高维空间的数据？
在我们的分析中，协方差矩阵的定义需要centered data。在高维空间中，显式的将\(\Phi(x_i)\)居中并不简单,
因为我们并不知道\(\Phi\)的显示表达。但从上面两节可以看出，所有的计算只和\(K\)矩阵有关。具体计算如下：
令\(\Phi_i = \Phi(x_i)\)，居中\(\Phi_i^C = \Phi_i – \frac{1}{N}\sum_k \Phi_k\)
$$\begin{align}
K_{ij}^C
&= <\Phi_i^C \Phi_j^C> \\
&= (\Phi_i – \frac{1}{N}\sum_k \Phi_k)^T (\Phi_j – \frac{1}{N}\sum_l \Phi_l ） \\
&=\Phi_i^T\Phi_j – \frac{1}{N}\sum_l \Phi_i^T \Phi_l – \frac{1}{N}\sum_k \Phi_k^T \Phi_j + \frac{1}{N^2}\sum_k \sum_l \Phi_k^T \Phi_l \\
&=K_{ij} – \frac{1}{N}\sum_l K_{il} – \frac{1}{N}\sum_k K_{kj} + \frac{1}{N^2}\sum_k \sum_l K_{kl}
\end{align}$$
不难看出，
$$K^C = K – 1_N K – K 1_N + 1_N K 1_N$$
其中\(1_N\) 为\(N \times N \)的矩阵，其中每一个元素都是\(1/N\)
对于新的数据，我们同样可以
$$\begin{align}
K(x_i, t)^C
&= <\Phi_i^C \Phi_t^C> \\
&= (\Phi_i – \frac{1}{N}\sum_k \Phi_k)^T (\Phi_t – \frac{1}{N}\sum_l \Phi_l ） \\
&=\Phi_i^T\Phi_t – \frac{1}{N}\sum_l \Phi_i^T \Phi_l – \frac{1}{N}\sum_k \Phi_k^T \Phi_t + \frac{1}{N^2}\sum_k \sum_l \Phi_k^T \Phi_l \\
&=K(x_i,t) – \frac{1}{N}\sum_l K_{il} – \frac{1}{N}\sum_k K(x_k,t) + \frac{1}{N^2}\sum_k \sum_l K_{kl}
\end{align}$$
2. 演示 (R code)
首先我们应该注意输入数据的格式，一般在统计中，我们要求\(X\)矩阵是\(N \times d\)的，但在我们的推导中，\(X\)矩阵是\(d \times N\)。
这与统计上的概念并不矛盾：在前面的定义下协方差矩阵为\(X^T X\)，而在后面的定义中是\(X X^T\)。另外这里的协方差矩阵是样本（Sample）的协方差矩阵，我们的认为大写的X代表矩阵，而不是代表一个随机变量。
另外，在下面的结果中，Gaussian 核函数（kernel function）的标准差（sd）为2。在其他取值条件下，所得到的图像是不同的。
KPCA图片：
R 源代码（Source Code）：链接到完整的代码 KernelPCA
Kernel PCA部分代码：
# Kernel PCA
# Polynomial Kernel
# k(x,y) = t(x) %*% y + 1
k1 = function (x,y) { (x[1] * y[1] + x[2] * y[2] + 1)^2 }
K = matrix(0, ncol = N_total, nrow = N_total)
for (i in 1:N_total) {
for (j in 1:N_total) {
K[i,j] = k1(X[i,], X[j,])
}}
ones = 1/N_total* matrix(1, N_total, N_total)
K_norm = K - ones %*% K - K %*% ones + ones %*% K %*% ones
res = eigen(K_norm)
V = res$vectors
D = diag(res$values)
rank = 0
for (i in 1:N_total) {
if (D[i,i] < 1e-6) { break }
V[,i] = V[,i] / sqrt (D[i,i])
rank = rank + 1
}
Y = K_norm %*% V[,1:rank]
plot(Y[,1], Y[,2], col = rainbow(3)[label], main = "Kernel PCA (Poly)"
, xlab="First component", ylab="Second component")
3. 主要参考资料
【1】A Tutorial on Principal Component Analysis ,Jonathon Shlens, Shlens03
【2】Wikipedia： http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_principal_component_analysis
【3】 Original KPCA Paper：Kernel principal component analysis，Bernhard Schölkopf, Alexander Smola and Klaus-Robert Müller http://www.springerlink.com/content/w0t1756772h41872/fulltext.pdf
【4】Max Wellings’s classes notes for machine learning Kernel Principal Component Analaysis http://www.ics.uci.edu/~welling/classnotes/papers_class/Kernel-PCA.pdf
